Курсова робота з математичного аналізу

Тема: Підрахунок часткових сум та спектральних характеристик ряду Фур'є для явної функції

сигнал спектр фур'є функція

1.Модель фізичного процесу

Розв'язання задачі з теоретичними викладками

Приклад розв'язання задачі

Приклад вирішення завдання серед Matlab R2009a

Список літератури

1.Модель фізичного процесу

Математичною моделлю радіотехнічного сигналу може бути деяка функція часу f(t) . Ця функція може бути речовою або комплексною, одновимірною або багатовимірною, детермінованою або випадковою (сигнали з перешкодами). У радіотехніці одна й та сама математична модель з рівним успіхом описує струм, напругу, напруженість електричного поля тощо.

Розглянемо речові одновимірні детерміновані сигнали

Багато функцій (сигналів) прийнято розглядати як лінійні функціональні нормовані простори, в яких введені такі поняття та аксіоми:

) виконані всі аксіоми лінійного простору;

) скалярний добуток двох дійсних сигналів визначається наступним чином:

) два сигнали називаються ортогональними, якщо їх скалярний твір дорівнює нулю;

) система ортогональних сигналів утворює нескінченномірний координатний базис, яким можна розкласти будь-який періодичний сигнал, що належить лінійному простору;

Серед різноманітних систем ортогональних функцій, за якими можна розкласти сигнал, найпоширенішою є система гармонійних (синусоїдальних та косинусоїдальних) функцій:

Подання деякого періодичного сигналу як суми гармонійних коливань з різними частотами називається спектральним представленням сигналу. Окремі гармонійні компоненти сигналу утворюють спектр. З математичної точки зору спектральне уявлення еквівалентне розкладання періодичної функції (сигналу) до ряду Фур'є.

Значення спектрального розкладання функцій у радіотехніці обумовлено низкою причин:

) простота вивчення якостей сигналу, т.к. гармонійні функції добре вивчені;

) можливість генерування довільного сигналу, т.к. техніка генерування гармонійних сигналів досить проста;

) простота передачі та прийому сигналу по радіоканалу, т.к. гармонійне коливання є єдиною функцією часу, що зберігає свою форму під час проходження через будь-який лінійний ланцюг. Сигнал на виході ланцюга залишається гармонійним із тією ж частотою, змінюється лише амплітуда та початкова фаза коливання;

) розкладання сигналу за синусами і косинусами дозволяє використовувати символічний метод, розроблений для аналізу передачі гармонійних коливань через лінійні ланцюги.

Як модель фізичного процесу розглянемо електрокардіограму роботи серця.

2.Рішення задачі з теоретичними викладками

Завдання 1:

Опишемо за допомогою рядів Фур'є, що періодично повторюється імпульс на ділянці електрокардіограми, так званий комплекс QRS.

Комплекс QRS можна встановити наступною шматково-лінійною функцією

Де

Цю функцію можна продовжити періодично з періодом T=2l.

Ряд Фур'є функції:

Визначення 1:Функція називається шматково-безперервнийна відрізку [а,b], якщо вона безперервна у всіх точках цього відрізка, крім кінцевого числа точок, у яких існують її кінцеві односторонні межі.

Визначення 2:Функція називається шматково-гладкоюна деякому відрізку, якщо вона сама та її похідна шматково-безперервні.

Теорема 1 (Ознака Діріхле): Ряд Фур'є шматково-гладкою на відрізку функції f(x) сходиться в кожній точці безперервності до значення функції в даній точці та до значення у кожній точці розриву.

Наша функція відповідає умовам теореми.

Для заданої функції отримуємо наступні коефіцієнти ряду Фур'є:

Комплексна форма ряду Фур'є

Для представлення низки у комплексній формі скористаємося формулами Ейлера:

Введемо позначення:

Тоді ряд можна переписати у вигляді

Крім того, коефіцієнти комплексного ряду Фур'є можна отримати і безпосередньо, обчислюючи їх за формулою.

Запишемо у комплексній формі ряд Фур'є заданої функції

Спектральні характеристики ряду

Вираз у ряді Фур'є називається n-й гармонікою.Відомо що

де чи

,

Сукупності , називається відповідно амплітудним та фазовим спектромперіодичної функції.

Графічно спектри зображуються у вигляді відрізків довжини , проведених перпендикулярно до осі, на яку наноситься значення n= 1,2 … або .

Графічне зображення відповідного спектра називається амплітудною чи фазовою діаграмою. Насправді найчастіше застосовують амплітудний спектр.

.Приклад розв'язання задачі

Завдання 2: Розглянемо конкретний приклад завдання для обраної моделі фізичного процесу.

Продовжимо цю функцію на всю числову вісь, отримаємо періодичну функцію f(x) з періодом T=2 l=18 (Мал. 1.).

Рис. 1. Графік періодично продовженої функції

Обчислимо коефіцієнти Фур'є заданої функції.

Запишемо часткові суми ряду:

Рис. 2. Графіки часткових сум низки Фур'є

Зі зростанням nграфіки часткових сум у точках безперервності наближаються до графіка функції f(x) . У точках розриву значення часткових сум наближаються до .

Побудуємо амплітудну та фазову діаграми.

з урахуванням чверті.

Таблиця

4. Приклад вирішення задачі в середовищі Matlab R2009a

Завдання 3:Як приклад розглянемо повністю інтервали PR та QT.

Рис

Для цієї функції побудувати графіки часткових сум, а також амплітудну і фазову діаграми.

Візьмемо конкретні значення параметрів для нашого завдання:

Скрипт для побудови потрібних графіків та діаграм.

Скрипт дозволяє вирішувати ряд подібних завдань шляхом вибору параметрів та координат точок Q, R, S.

%ПІДРАХУНОК ЧАСТИЧНИХ СУМ І СПЕКТРАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК РЯДУ ФУР'Є ДЛЯ ЯВНОЇ

% Спектральний аналіз. I2 = 10; Q=11; Qy = -2; R=12; Ry = 17; S=13; Sy=-4; I3 = 15; I4 = 20; I5 = 26; = 2; T=3; ExprNum=9;=250;=30;=0;flag == 0=1;(k<15)

k = menu("Зміна параметрів", ...

sprintf (" Параметр1 P = %g", P),...(" Параметр2 I1 = %g", I1),...(" Параметр3 I2 = %g", I2),...(" Параметр4 Qx = %g", Q),...(" Параметр5 Qy = %g", Qy),...(" Параметр6 Rx = %g", R),...(" Параметр7 Ry = %g", Ry),...(" Параметр8 Sx = %g", S),...(" Параметр9 Sy = %g", Sy),...(" Параметр10 I3 = %g", I3). .(" Параметр11 I4= %g", I4),...(" Параметр12 T = %g", T),...(" Параметр13 I5 = %g", I5),...(" Параметр13 Ns = %g", Ns),...

" Продовжити " );k==1,= input();

endk==2,= input();

endk==3,= input();

endk==4,= input();

endk==5,= input();

endk==6,= input();

endk==7,= input();

"Нове значення Sx="]);

endk==9,= input();

endk==10,= input();

endk==11,= input();

endk==12,= input();

endk==13,= input()

endk==14,= input()

%Застосування параметрів = Qy/(Q-I2);

v=Qy*I2/(I2-Q);=(Ry-Qy)/(R-Q);=(Qy*R-Q*Ry)/(R-Q);=(Sy-Ry)/(S-R);=(Ry *S-R*Sy)/(S-R);=Sy/(S-I3);=I3*Sy/(I3-S);=2*L/N;=0:Ts:2*L;=length(t );=zeros(1,Dim);=floor(I1*N/2/L)+1;=floor((I2-I1)*N/2/L)+1;=floor((Q-I2) *N/2/L)+1;=floor((R-Q)*N/2/L)+1;= floor((S-R)*N/2/L)+1;= floor((I3-S) *N/2/L)+1;= floor((I4-I3)*N/2/L)+1;= floor((I5-I4)*N/2/L)+1;= floor(( 2*L-I4)*N/2/L)+1;i=1:u1(i)=P*sin(pi*t(i)/I1); i=(u2+u1):(u3+u2+u1)(i)=w*t(i)+v;i= (u3+u2+u1): (u4+u3+u2+u1)(i) =a*t(i)+b;i=(u4+u3+u2+u1): (u5+u4+u3+u2+u1)(i)=c*t(i)+d;i=(u5 +u4+u3+u2+u1): (u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=q*t(i)+r;i=(u6+u5+u4+u3+u2+u1) ): (u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=0;i=(u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u8+u7+u6+u5+ u4+u3+u2+u1)(i)=T*sin(pi*(t(i)-I4)/(I5-I4));(t,y,"LineWidth",2), grid, set( gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize",16);

title("Графік процесу"); xlabel("Час (с)"); ylabel("Y(t)");

%Графік часткової сумиn

n=0;j=1:ExprNum=j;j1=quad(@f, 0, I1);2=a0+quad(@f, I1, I2);3=a0+quad(@f, I2, Q );4=a0+quad(@f, Q, R);5=a0+quad(@f, R, S); @f, I3, I4); 8 = a0 + quad (@ f, I4, I5); ;=zeros(1,Ns);i=1:Ns=i;j=1:ExprNum=j;j1(i)=quad(@f, 0, I1);(i)=quad(@g, 0 , I1); 2(i) = an (i) + quad (@f, I1, I2); i)+quad(@f, I2, Q);(i)=bn(i)+quad(@g, I2, Q); );(i)=bn(i)+quad(@g, Q, R);5(i)=an(i)+quad(@f, R, S); quad(@g, R, S); 6(i)=an(i)+quad(@f, S, I3); (i)=an(i)+quad(@f, I3, I4); (i)=bn(i)+quad(@g, I3, I4); @f, I4, I5); (i) = bn (i) + quad (@ g, I4, I5); i)=bn(i)+quad(@g, I5, 2*L);(i)= an(i)/L;(i)= bn(i)/L;=t;=zeros(1, length(x));=fn+a0/2;i=1:Ns=i;=fn+an(i)*cos(n*pi*x/L)+bn(i)*sin(n*pi *x/L);

title("Графік сигналу та часткової суми"); xlabel("Час (с)"); ylabel(sprintf("Sn(t)"));

% Побудова амплітудної діаграми = zeros (1, Ns);

wn=pi/L;=wn:wn:wn*Ns;i=1:Ns(i)=sqrt(an(i).^2+bn(i).^2);(Gn,A,". "), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Амплітудна діаграма сигналу"); xlabel("n"); ylabel("An");

% Побудова фазової діаграми сигналу = zeros (1, Ns);

for i=1:Ns(an(i)>0)(i)=atan(bn(i)/an(i));((an(i))<0)&&(bn(i))>0)(i)=atan(bn(i)/an(i))+pi;((an(i))<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0)(i)=pi/2;((an(i)==0)&&(bn(i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, продовжити - ");

переліклітератури

1. Фіхтенгольц, Г.М. Курс диференціального та інтегрального обчислення: 3 т., М., 1997. 3 т.

Воднєв, Ст Т., Наумович, А. Ф., Наумович, Н. Ф., Основні математичні формули. Мінськ, 1998

Харкевич, А.А, Спектри та аналіз. Москва, 1958

Лазарєв, Ю. Ф., Початки програмування серед MatLAB. Київ 2003.

Демидович, Б.П. Збірник завдань та вправ з математичного аналізу, М., 1988.

Часто математичний опис навіть нескладних за структурою та формою детермінованих сигналів є важким завданням. Тому використовують оригінальний прийом, при якому реальні складні сигнали замінюють (представляють, апроксимують) набором (зваженою сумою, тобто поруч) математичних моделей, що описуються елементарними функціями. Це дає важливий інструмент аналізу проходження електричних сигналів через електронні ланцюга. Крім того, представлення сигналу може використовуватися як вихідне при його описі та аналізі. При цьому можна суттєво спростити обернене завдання - синтезскладних сигналів із сукупності елементарних функцій.

Спектральне подання періодичних сигналів рядами Фур'є

Узагальнений ряд Фур'є.

Фундаментальна ідея спектрального представлення сигналів (функцій) походить від часів більш ніж 200-річної давності і належить фізику та математику Ж. Б. Фур'є.

Розглянемо системи елементарних ортогональних функцій, кожна з яких виходить з однієї вихідної функції-прототипу. Ця функція-прототип виконує роль «будівельного блоку», а шукана апроксимація є відповідним комбінуванням однакових блоків. Фур'є показав, що будь-яку складну функцію можна представити (апроксимувати) у вигляді кінцевої або нескінченної суми ряду кратних гармонійних коливань з певними амплітудами, частотами та початковими фазами. Цією функцією може бути, зокрема, струм або напруга ланцюга. Сонячний промінь, розкладений призмою на спектр кольорів, є фізичним аналогом математичних перетворень Фур'є (рис. 2.7).

Світло, що виходить із призми, розділене у просторі на окремі чисті кольори, або частоти. У діапазоні є середня амплітуда на кожній частоті. Таким чином, функція інтенсивності від часу трансформувалася на функцію амплітуди в залежності від частоти. Простий приклад ілюстрацій міркувань Фур'є показано на рис. 2.8. Періодична, досить складна формою крива (рис. 2.8, а) -це сума двох гармонік різних, але кратних частот: одинарної (рис. 2.8, б)та подвоєної (рис. 2.8, в).

Рис. 2.7.

Рис. 2.8.

а- Складне коливання; б,в- 1-й та 2-й апроксимуючі сигнали

За допомогою спектрального аналізу Фур'є складна функція є сумою гармонік, кожна з яких має свою частоту, амплітуду та почату фазу. Перетворення Фур'є визначає функції, що становлять амплітуду і фазу гармонійних складових, що відповідають конкретній частоті, а фаза - початкова точка синусоїди.

Перетворення можна отримати двома різними математичними методами, один із яких застосовують, коли вихідна функція безперервна, а інший - коли вона задається безліччю окремих дискретних значень.

Якщо досліджувана функція отримана з значень з певними дискретними інтервалами, її можна розбити на послідовний ряд синусоїдальних функцій з дискретними частотами - від найнижчої, основний чи головної частоти, і далі з частотами вдвічі, втричі тощо. вище за основну. Така сума складових і називається поряд Фур'є.

Ортогональні сигнали. Зручним способом спектрального опису сигналу Фур'є є його аналітичне уявлення за допомогою системи ортогональних елементарних функцій часу. Нехай є гільбертовий простір сигналів u 0 (t) yг/,(?), ..., u n (t)з кінцевою енергією, визначених на кінцевому чи нескінченному інтервалі часу (t v 1 2). На цьому відрізку поставимо нескінченну систему (підмножина) взаємопов'язаних елементарних функцій часу та назвемо її базисної".

де г = 1, 2, 3,....

Функції u(t)і v(t)ортогональні на інтервалі (?, ? 2), якщо їх скалярне твір за умови що жодна з цих функцій нс дорівнює тотожному нулю.

У математиці так задають у гільбертовому просторі сигналів ортогональний координатний базис, тобто. систему ортогональних базових функцій.

Властивість ортогональності функцій (сигналів) пов'язане з інтервалом визначення (рис. 2.9). Наприклад, два гармонійні сигнали м,(?) = = sin(2nr/7' 0) і u., (t)= sin(4 nt/T Q)(тобто з частотами/ 0 = 1/7' 0 і 2/ 0 відповідно) ортогональні на будь-якому інтервалі часу, тривалість якого дорівнює цілому числу напівперіодів Т 0(Рис. 2.9, а).Отже, у першому періоді сигнали та ( (1)і u 2 (t)ортогональні на інтервалі (0, 7" 0 /2); але на інтервалі (О, ЗГ 0 /4) вони неортогональні. Па рис. 2.9, бсигнали ортогональні через різночасність їх появи.

Рис. 2.9.

а- на інтервалі; б -через різночасність появи Подання сигналу u(t)елементарними моделями значно спрощується, якщо обрана система базисних функцій vff),які мають властивість ортонормованості.З математики відомо, якщо для будь-якої пари функцій із ортогональної системи (2.7) виконується умова

то система функцій (2.7) ортонормована.

У математиці таку систему базисних функцій виду (2.7) називають ортонормованим базисом.

Нехай на заданому інтервалі часу | t 2| діє довільний сигнал u(t)і його представлення використовується ортонормована система функцій (2.7). Проектування довільного сигналу u(t)на осі координатного базису називається розкладанням у узагальнений ряд Фур'є.Це розкладання має вигляд

де с - деякі постійні коефіцієнти.

Для визначення коефіцієнтів з доузагальненого ряду Фур'є виберемо одну з базових функцій (2.7) v k (t) здовільним номером до.Помножимо обидві частини розкладання (2.9) на цю функцію та проінтегруємо результат за часом:

Внаслідок ортонормованості базису обраних функцій у правій частині цієї рівності всі члени суми при i ^ дозвернуться на нуль. Ненульовим залишиться лише один член суми з номером i = до,тому

Твір виду c k v k (t),входить у узагальнений ряд Фур'є (2.9), є спектральну складовусигналу u(t),а сукупність коефіцієнтів (проекцій векторів сигналу на осі координат) (з 0, с,..., з до,..., с„) повністю визначає аналізований сигнал ii(t)і називається його спектром(Від лат. spectrum- Образ).

Суть спектрального уявлення (аналізу) сигналу полягає у визначенні коефіцієнтів з я відповідно до формули (2.19).

Вибір раціональної ортогональної системи координатного базису функцій залежить від мети досліджень та визначається прагненням максимального спрощення математичного апарату аналізу, перетворень та обробки даних. Як базисні функції в даний час використовуються поліноми Чебишева, Ерміта, Лагерра, Лежандра та ін. Найбільшого поширення набуло перетворення сигналів у базисах гармонійних функцій: комплексних експоненційних exp(J 2лft)та речових тригонометричних синусно-косинусних функцій, пов'язаних формулою Ейлера е >х= cosx + y"sinx. Це пояснюється тим, що гармонійне коливання теоретично повністю зберігає свою форму при проходженні через лінійні ланцюги з постійними параметрами, а змінюються при цьому лише його амплітуда та початкова фаза. Також широко використовується добре розроблений теоретично ланцюгів символічний метод. Операцію подання детермінованих сигналів у вигляді сукупності постійної складової ( constant component)і суми гармонійних коливань із кратними частотами прийнято називати спектральним розкладанням.Досить поширене використання теорії сигналів узагальненого ряду Фур'є пов'язано також з його дуже важливою властивістю: при обраній ортонормованій системі функцій v k (t)та фіксованому числі доданків ряду (2.9) він забезпечує найкраща виставазаданого сигналу u(t).Ця властивість рядів Фур'є широко відома.

При спектральному поданні сигналів найбільшого застосування отримали ортонормовані базиси тригонометричних функцій. Це зумовлено наступним: гармонійні коливання найпростіше генерувати; гармонійні сигнали інваріантні щодо перетворень, що здійснюються стаціонарними лінійними електричними ланцюгами.

Оцінимо тимчасове та спектральне уявлення аналогового сигналу (рис. 2.10). На рис. 2.10, апоказана тимчасова діаграма складного формою безперервного сигналу, але в рис. 2.10, б -його спектральне розкладання.

Розглянемо спектральне уявлення періодичних сигналів як суми чи гармонійних функцій, чи комплексних експонент із частотами, утворюючими арифметичну прогресію.

Періодичнимназивають сигнал і„(?). повторюється через регулярні інтервали часу (рис. 2.11):

де Г - період повторення або проходження імпульсів; п = 0,1, 2,....

Рис. 2.11. Періодичний сигнал

Якщо Тє періодом сигналу u(t),то періодами будуть і кратні значення: 2Г, 3 Ті т.д. Періодична послідовність імпульсів (їх називають відеоімпульсами) описується виразом

Рис. 2.10.

а- тимчасова діаграма; б- амплітудний спектр

Тут u Q (t)- Форма одиночного імпульсу, що характеризується амплітудою (висотою) h = Е,тривалістю т„, періодом слідування Т= 1/F(F - частота), положенням імпульсів у часі щодо тактових точок, наприклад t = 0.

При спектральному аналізі періодичних сигналів зручна ортогональна система (2.7) у вигляді гармонійних функцій із кратними частотами:

де зі, = 2п/Т-частота проходження імпульсів.

Обчислюючи інтеграли, за формулою (2.8) легко переконатися в ортогональності цих функцій інтервалі [-Г/2, Г/2|. Будь-яка функція задовольняє умові періодичності (2.11), оскільки їх частоти кратні. Якщо систему (2.12) записати як

то отримаємо ортонормований базис гармонійних функцій.

Представимо періодичний сигнал найбільш поширеної теорії сигналів тригонометричної(синусно-косинусний) формоюряду Фур'є:

З курсу математики відомо, що розкладання (2.11) є, тобто. ряд сходиться, якщо функція (в даному випадкусигнал) u(t)на інтервалі [-7/2, 7/2] задовольняє умовам Діріхле(на відміну від теореми Діріхле їх часто трактують спрощено):

• не повинно бути розривів 2-го роду (з гілками, що йдуть у нескінченність);
• функція обмежена та має кінцеве число розривів 1-го роду (стрибків);
• функція має кінцеве число екстремумів (тобто максимумів та мінімумів).

У формулі (2.13) є такі компоненти аналізованого сигналу:

Постійна складова

Амплітуди косинусоїдальних складових

Амплітуди синусоїдальних складових

Спектральну складову з частотою з теоретично зв'язку називають першою (Основний) гармонікою, а складові з частотами ісо, (п > 1) - вищими гармонікамиперіодичного сигналу. Крок за частотою Асо між двома сусідніми синусоїдами з розкладання Фур'є називають частотною роздільною здатністюспектра.

Якщо сигнал є парною функцією часу u(t) = u(-t), то в тригонометричному записі ряду Фур'є (2.13) відсутні синусоїдальні коефіцієнти Ьп, оскільки відповідно до формули (2.16) вони перетворюються на нуль. Для сигналу u(t),описуваного непарною функцією часу, навпаки, згідно з формулою (2.15) нулю рівні косінусоїдальні коефіцієнти а п(постійна складова а 0також відсутня), і ряд містить складові Ь п.

Межі інтегрування (від -7/2 до 7/2) не обов'язково мають бути такими, як у формулах (2.14)-(2.16). Інтегрування може проводитися за будь-яким інтервалом часу шириною 7 - результат від цього не зміниться. Конкретні межі вибираються з міркувань зручності обчислень; наприклад, може бути простіше виконувати інтегрування від Про до 7 або від -7 до 0 і т.д.

Розділ математики, що визначає співвідношення між функцією часу u(t) та спектральними коефіцієнтами а п, Ь п,називають гармонійним аналізомвнаслідок зв'язку функції u(t)з синусоїдальними та косинусоїдальними членами цієї суми. Далі спектральний аналіз переважно обмежений рамками гармонійного аналізу, що знаходить виняткове застосування.

Часто застосування синусно-косинусної форми ряду Фур'є не зовсім зручне, оскільки для кожного значення індексу підсумовування п(Тобто для кожної гармоніки з частотою mOj) у формулі (2.13) фігурують два доданки - косинус і синус. З математичної точки зору зручніше цю формулу уявити еквівалентним рядом Фур'є речовій формі/.

де А 0 = а 0 / 2; А п = yja 2 n + Ь -амплітуда; п-й гармоніки сигналу. Іноді у співвідношенні (2.17) перед ср Л ставлять знак «плюс», тоді початкову фазу гармонік записують як ср і = -arctg ( b n fa n).

Теоретично сигналів широко використовують комплексну форму низки Фур'є. Вона виходить із речовинної форми ряду уявленням косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонентів за формулою Ейлера:

Застосувавши це перетворення до речовинної форми ряду Фур'є (2.17), отримаємо суми комплексних експонентів з позитивними та негативними показниками:

А тепер трактуватимемо у формулі (2.19) експоненти при частоті зі, зі знаком «мінус» у показнику як члени ряду з негативними номерами. В рамках цього ж підходу коефіцієнт А 0стане членом ряду із нульовим номером. Після нескладних перетворень приходимо до комплексної формиряду Фур'є

Комплексна амплітуда п-й гармоніки.

Значення З пза позитивними та негативними номерами пє комплексно-сполученими.

Зазначимо, що ряд Фур'є (2.20) є ансамблем комплексних експонентів. exp(jn(o(t)) із частотами, що утворюють арифметичну прогресію.

Визначимо зв'язок між коефіцієнтами тригонометричної та комплексної форм низки Фур'є. Очевидно, що

Можна також показати, що коефіцієнти а п= 2C w coscp„; b n = 2C /I sincp, f.

Якщо u(t)є парною функцією, коефіцієнти ряду С, будуть речовими,а якщо u(t) -функція непарна, коефіцієнти ряду стануть уявними.

Спектральне уявлення періодичного сигналу комплексною формою низки Фур'є (2.20) містить як позитивні, і негативні частоти. Але негативні частоти у природі немає, і це математична абстракція (фізичний сенс негативної частоти - обертання у бік, протилежному тому, яке прийнято за позитивне). Вони виникають як наслідок формального уявлення гармонійних коливань комплексною формою. При переході від комплексної форми запису (2.20) до речової (2.17) негативна частота пропадає.

Наочно про спектр сигналу судять за його графічним зображенням - спектральною діаграмою (рис. 2.12). Розрізняють амплітудно-частотніі фазочастотні спектри.Сукупність амплітуд гармонік А п(Рис. 2.12, а)називають амплітудним спектромїх фаз (рис. 2.12, б)ср я - фазовий спектр.Сукупність З п = |З пє комплексним амплітудним спектром(Рис. 2.12, в).На спектральних діаграмах але осі абсцис відкладають поточну частоту, але осі ординат - або речовинну, або комплексну амплітуду або фазу відповідних гармонійних складових аналізованого сигналу.

Рис. 2.12.

а -амплітудний; б -фазовий; в -амплітудний спектр комплексного ряду Фур'є

Спектр періодичного сигналу називають лінійчастимабо дискретним, так як він складається з окремих ліній з висотою, що дорівнює амплітуді А пгармонік. З усіх видів спектрів найбільш інформативний амплітудний, оскільки він дозволяє оцінити кількісне зміст тих чи інших гармонік у частотному складі сигналу. Теоретично сигналів доведено, що амплітудний спектр є парна функція частоти, а фазовий - непарна.

Зазначимо еквідистантність(рівновіддаленість від початку координат) комплексного спектру періодичних сигналів: симетричні (позитивні та негативні) частоти, на яких розташовані спектральні коефіцієнти тригонометричного ряду Фур'є, утворюють еквідистантну послідовність (..., -жo v..., -2со р -со р 0, v 2со, ..., nco v...), що містить частоту = 0 і має крок co t = 2л/7 '. Коефіцієнти можуть набувати будь-яких значень.

Приклад 2.1

Розрахуємо амплітудний та фазовий спектри періодичної послідовності прямокутних імпульсів з амплітудою?, тривалістю т та й періодом повторення Т.Сигнал – функція парна (рис. 2.13).

Рис. 2.13.

Рішення

Відомо, що ідеальний прямокутний відеоімпульс описується наступним рівнянням:

тобто. він формується як різницю двох одиничних функцій а(?) (функцій включення), зрушених у часі на т н.

Послідовність прямокутних імпульсів є відомою сумою одиночних імпульсів:

Оскільки заданий сигнал є парною функцією часу протягом одного періоду діє тільки на інтервалі [т і /2, т і /2], то згідно з формулою (2.14)

де q = Т/т„.

Аналізуючи отриману формулу, можна відмітити, що період проходження і тривалість імпульсів входять до неї як відносини. Цей параметр q -відношення періоду до тривалості імпульсів - називають шпаруватістюперіодичної послідовності імпульсів (у зарубіжній літературі замість шпаруватості використовують зворотну величину - коефіцієнт заповнення, від англ. duty cycle, рівний т і / 7); при q = 2 послідовність прямокутних імпульсів, коли тривалості імпульсів та проміжків між ними стають рівними, називають меандром(Від грец. paiav5poq - візерунок, геометричний орнамент).

В силу парності функції, що описує аналізований сигнал, у ряді Фур'є поряд з постійною складовою будуть присутні тільки косинусоїдальні складові (2.15):

У правій частині формули (2.22) другий співмножник має вигляд елементарної функції (sinx)/x. У математиці цю функцію позначають як sinc(x), причому лише за значення х= 0 вона дорівнює одиниці (lim (sinx/x) = 1), проходить

через нуль у точках х = ±л, ±2л,... і згасає зі зростанням аргументу х (рис. 2.14). Остаточно тригонометричний ряд Фур'є (2.13), який апроксимує заданий сигнал, записують у формі

Рис. 2.14.Графік функції sinx/x

Функція sine має пелюстковий характер. Говорячи про ширину пелюсток, слід підкреслити, що для графіків дискретних спектрів періодичних сигналів можливі два варіанти градуювання горизонтальної осі – у номерах гармонік та частотах. Наприклад, на рис. 2.14 градуювання осі ординат відповідає частотам. Ширина пелюсток, виміряна серед гармонік, дорівнює шпаруватості послідовності. Звідси випливає важлива властивість спектра послідовності прямокутних імпульсів - у ньому відсутні (мають нульові амплітуди) гармоніки з номерами, кратними шпаруватості. При шпаруватості імпульсів, що дорівнює трьом, зникає кожна третя гармоніка. Якби шпаруватість дорівнювала б двом, то в спектрі залишилися б лише непарні гармоніки основної частоти.

З формули (2.22) та рис. 2.14 слід, що коефіцієнти низки вищих гармонік сигналу мають негативний знак. Це з тим, що початкова фаза цих гармонік дорівнює п.Тому формулу (2.22) прийнято подавати у зміненому вигляді:

При такому записі ряду Фур'є значення амплітуд всіх вищих гармонійних складових на графіку спектральної діаграми є позитивними (рис. 2.15, а).

Амплітудний спектр сигналу значною мірою залежить від відношення періоду повторення Ті тривалості імпульсу т і, тобто. від шпару q.Відстань по частоті між сусідніми гармоніками дорівнює частоті проходження імпульсів з 1 = 2л/Т. Ширина пелюсток спектру, виміряна в одиницях частоти, дорівнює 2я/т, тобто. обернено пропорційна тривалості імпульсів. Зазначимо, що при одній і тій же тривалості імпульсу зі збільшенням не-

Рис. 2.15.

а- амплітудний;б- фазовий

ріоду їх повторення Тосновна частота зменшується і спектр стає щільнішим.

Ту ж картину спостерігають, якщо вкорочують тривалість імпульсу т і при постійному періоді Т.Амплітуди всіх гармонік у своїй зменшуються. Це прояв загального закону (принципу невизначеності В. Гейзенберга - Uncertainty principle)’,що коротше тривалість сигналу, тим ширше його спектр.

Фази складових визначимо з формули ср п = arctg (b n /a n).Оскільки тут коефіцієнти Ь„= 0, то

де m = 0, 1, 2,....

Співвідношення (2.24) показує, що з обчислення фаз спектральних складових маємо справу з математичною невизначеністю. Для її розкриття звернемося до формули (2.22), згідно з якою амплітуди гармонік періодично змінюють знак відповідно до зміни знаку функції sin(nco 1 x 1I /2). Зміна знака у формулі (2.22) еквівалентно зсуву фази цієї функції на п.Отже, коли дана функціяпозитивна фаза гармоніки (р і = 2 тп,а коли негативна - = (2т + 1 )до(Рис. 2.15, б). Зауважимо, що хоча амплітуди складових у спектрі прямокутних імпульсів і зменшуються зі зростанням частоти (див. рис. 2.15, а),цей спад досить повільний (амплітуди спадають назад пропорційно до частоти). Для передачі таких імпульсів без спотворень потрібна нескінченна смуга частот каналу зв'язку. Для порівняно малопомітних спотворень граничне значення смуги частот має бути в багато разів більшим за значення, зворотне тривалості імпульсу. Однак, всі реальні канали мають кінцеву смугу пропускання, що призводить до спотворень форми переданих імпульсів.

Ряди Фур'є довільних періодичних сигналів можуть містити безліч членів. При розрахунках спектрів таких сигналів обчислення нескінченної суми ряду Фур'є викликає певні труднощі і не завжди потрібне, тому обмежуються підсумовуванням кінцевої кількості доданків (ряд «усікають»).

Точність апроксимації сигналу залежить від кількості сумованих складових. Розглянемо це з прикладу апроксимації сумою з восьми перших гармонік послідовності прямокутних імпульсів (рис. 2.16). Сигнал має вигляд однополярного меандру з періодом повторення Туамплітудою Е= 1 і тривалістю імпульсів т і = Т/2 (заданий сигнал – функція парна – рис. 2.16, а; свердловість q= 2). Апроксимація показана на рис. 2.16 б, причому на графіках показано число сумованих гармонік. У проведеній апроксимації заданого періодичного сигналу (див. рис. 2.13) тригонометричним рядом (2.13) підсумовування першої та вищих гармонік здійснюватиметься лише за непарними коефіцієнтами Путому що при парних їх значеннях і тривалості імпульсу т і = Т/2 = = тт/с, величина sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) перетворюється на нуль.

Тригонометрична форма ряду Фур'є (2.23) для заданого сигналу має вигляд

Рис. 2.16.

а -заданий сигнал; 6 - проміжні стадії підсумовування

Для зручності уявлення ряд Фур'є (2.25) можна записати спрощено:

З формули (2.26) очевидно, що гармоніки, що апроксимують меандр, непарні, мають знаки, що чергуються, а їх амплітуди назад пропорційні номерам. Зазначимо, що послідовність прямокутних імпульсів погано підходить для представлення поруч Фур'є - апроксимація містить пульсації та стрибки, а сума будь-якого числа гармонійних складових з будь-якими амплітудами завжди буде безперервною функцією. Тому поведінка низки Фур'є на околицях розривів становить особливий інтерес. З графіків рис. 2.16, б неважко помітити, як зі збільшенням числа сумованих гармонік результуюча функція все точніше наближається до форми вихідного сигналу u(t)скрізь, крім точок її розриву. В околиці точок розриву підсумовування ряду Фур'є дає похилий ділянку, причому крутість нахилу результуючої функції зростає зі збільшенням числа сумованих гармонік. У самій точці розриву (позначимо її як t = t 0)ряд Фур'є u(t 0)сходиться до півсуми правої та лівої меж:

На ділянках, що примикають до розриву апроксимованої кривої, сума ряду дає помітні пульсації, причому на рис. 2.16 видно, що амплітуда основного викиду цих пульсацій не зменшується зі зростанням кількості сумованих гармонік - він лише стискається по горизонталі, наближаючись до точки розриву.

При п-? у точках розриву амплітуда викиду залишається постійною,

а його ширина буде нескінченно вузькою. Не змінюються і відносна амплітуда пульсацій (стосовно амплітуди стрибка), і відносне згасання; змінюється лише частота пульсацій, яка визначається частотою останніх сумованих гармонік. Це з збіжністю низки Фур'є. Звернемося до класичного прикладу: чи досягнете ви коли-небудь стіни, якщо з кожним кроком проходитимете половину відстані, що залишилася? Перший крок призведе до позначки половини колії, другий - до позначки на трьох його чвертях, а після п'ятого кроку пройдете вже майже 97% колії. Ви майже дійшли до мети, проте скільки б ви ще кроків уперед не зробили, ніколи не досягнете її в суворому математичному сенсі. Можна лише довести математично, що врешті-решт ви зможете наблизитися на будь-яке задане скільки завгодно мала відстань. Даний доказ буде еквівалентним демонстрації того, що сума чисел 1/2,1/4,1/8,1/16 і т.д. прагне одиниці. Це, властиве всім рядам Фур'є для сигналів з розривами 1-го роду (наприклад, стрибками, як у фронтах прямокутних імпульсів), називають ефектом Гіббса*. При цьому значення першого (найбільшого) викиду амплітуди в кривій, що апроксимується, становить близько 9% рівня стрибка (див. рис. 2.16, п = 4).

Ефект Гіббса призводить до непереборної похибки апроксимації періодичних імпульсних сигналів з розривами 1-го роду. Ефект має місце при різких порушеннях монотонності функцій. На стрибках ефект максимальний, у всіх інших випадках амплітуда пульсацій залежить від характеру порушення монотонності. Для ряду практичних програм ефект Гіббса викликає певні проблеми. Наприклад, у звуковідтворювальних системах це явище називають «дзвоном» або «брязкотом». При цьому кожен різкий приголосний або інший раптовий звук може супроводжуватись коротким неприємним для слуху звуком.

Ряд Фур'є можна використовувати як для періодичних сигналів, але й сигналів кінцевої тривалості. При цьому обмовляється час-

ний інтервал, котрій будується ряд Фур'є, а інші моменти часу сигнал вважається рівним нулю. Для розрахунку коефіцієнтів ряду такий підхід означає періодичне продовженнясигналу за межами розглянутого інтервалу.

Зазначимо, як і природа (наприклад, слух людини) використовує принцип гармонійного аналізу сигналів. Віртуальне перетворення Фур'є людина виробляє щоразу, коли чує звук: вухо автоматично виконує це, представляючи звук як спектра послідовних значень гучності для тонів різної висоти. Мозок людини перетворює цю інформацію на сприйманий звук.

Гармонійний синтез. Теоретично сигналів поруч із гармонійним аналізом сигналів широко використовують гармонійний синтез- отримання заданих коливань складної форми шляхом підсумовування ряду гармонійних складових їх спектра. По суті, вище був проведений синтез періодичної послідовності прямокутних імпульсів сумою з ряду гармонік. Насправді ці операції виконують на комп'ютері, як це показано на рис. 2.16, б.

• Жан Батіст Жозеф Фур'є (J. В. J. Fourier; 1768-1830) - французький математик та фізик.
• Джозайя Гіббс (J. Gibbs, 1839-1903) - американський фізик та математик, один із основоположників хімічної термодинаміки та статистичної фізики.

У багатьох випадках завдання отримання (обчислення) спектра сигналу виглядає так. Є АЦП, який з частотою дискретизації Fd перетворює безперервний сигнал, що надходить на його вхід протягом часу Т, цифрові відліки - N штук. Далі масив відліків подається в якусь програму, яка видає N/2 якихось числових значень (програміст, який стягнув з инетанаписав програму, запевняє, що вона робить перетворення Фур'є).

Щоб перевірити, чи правильно працює програма, сформуємо масив відліків як суму двох синусоїд sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) і подсунем програмі. Програма намалювала таке:

рис.1 Графік тимчасової функції сигналу

рис.2 Графік спектра сигналу

На графіку спектра є дві палиці (гармоніки) 5 Гц з амплітудою 0.5 і 10 Гц - з амплітудою 1 В, все як у формулі вихідного сигналу. Все чудово, програміст молодець! Програма працює правильно.

Це означає, що якщо ми подамо на вхід АЦП реальний сигнал із суміші двох синусоїд, ми отримаємо аналогічний спектр, що складається з двох гармонік.

Отже, наш реальнийвиміряний сигнал, тривалістю 5 сек, оцифрований АЦП, тобто представлений дискретнимивідліками, має дискретний неперіодичнийспектр.

З математичної точки зору – скільки помилок у цій фразі?

Тепер начальство вирішило, що 5 секунд - це занадто довго, давай вимірювати сигнал за 0.5 сек.



рис.3 Графік функції sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на період виміру 0.5 сек

рис.4 Спектр функції

Щось ніби не те! Гармоніка 10 Гц малюється нормально, а замість ціпка на 5 Гц з'явилося кілька якихось незрозумілих гармонік. Дивимося в інтернетах, що та як…

Во, кажуть, що в кінець вибірки треба додати нулі, і спектр малюватиметься нормальний.

рис.5 Добили нулів до 5 сік

рис.6 Отримали спектр

Все одно не те, що було на 5 секунд. Прийде розбиратися з теорією. Ідемо в Вікіпедію- джерело знань.

2. Безперервна функція та уявлення її поруч Фур'є

Математично наш сигнал тривалістю T секунд є деякою функцією f(x), заданою на відрізку (0, T) (X у даному випадку – час). Таку функцію завжди можна представити у вигляді суми гармонійних функцій (синусоїд або косінусоїд) виду:

(1), де:

K – номер тригонометричної функції (номер гармонічної складової, номер гармоніки)
T – відрізок, де функція визначена (тривалість сигналу)
Ak - амплітуда k-ої гармонійної складової,
θk - початкова фаза k-ої гармонійної складової

Що означає «подати функцію у вигляді суми ряду»? Це означає, що, склавши у кожному точці значення гармонійних складових низки Фур'є, ми отримаємо значення нашої функції у цій точці.

(Суворіше, середньоквадратичне відхилення ряду від функції f(x) буде прагнути до нуля, але незважаючи на середньоквадратичну збіжність, ряд Фур'є функції, взагалі кажучи, не повинен сходитися до неї поточечно. Див. https://ru.wikipedia.org/ wiki/Ряд_Фур'є .)

Цей ряд може бути записаний у вигляді:

(2),
де, k-я комплексна амплітуда.

Зв'язок між коефіцієнтами (1) та (3) виражається такими формулами:

Зазначимо, всі ці три уявлення низки Фур'є абсолютно рівнозначні. Іноді під час роботи з рядами Фур'є буває зручніше використовувати замість синусів і косінусів експоненти уявного аргументу, тобто використовувати перетворення Фур'є у комплексній формі. Але нам зручно використовувати формулу (1), де ряд Фур'є представлений у вигляді суми косінусоїд з відповідними амплітудами та фазами. У жодному разі неправильно говорити, що результатом перетворення Фур'є дійсного сигналу будуть комплексні амплітуди гармонік. Як правильно говориться в Вікі «Перетворення Фур'є (ℱ) - операція, що співставляє однієї функції речової змінної іншу функцію, також речової змінної.»

Разом:
Математичною основою спектрального аналізу сигналів є перетворення Фур'є.

Перетворення Фур'є дозволяє уявити безперервну функцію f(x) (сигнал), визначену на відрізку (0, T) у вигляді суми нескінченного числа (нескінченного ряду) тригонометричних функцій (синусоїд та/або косінусоїд) з певними амплітудами та фазами, що також розглядаються на відрізку (0, T). Такий ряд називається поряд Фур'є.

Зазначимо ще деякі моменти, розуміння яких потрібно правильного застосування перетворення Фур'є до аналізу сигналів. Якщо розглянути ряд Фур'є (суму синусоїд) на всій осі Х, то можна побачити, що поза відрізком (0, T) функція представлена ​​поруч Фур'є періодично повторюватиме нашу функцію.

Наприклад, на графіку рис.7 вихідна функція визначена на відрізку (-T2, +T2), а ряд Фур'є представляє періодичну функцію, визначену по всій осі х.

Це тому, що синусоїди самі є періодичними функціями, відповідно і їх сума буде періодичною функцією.

рис.7 Подання неперіодичної вихідної функції поруч Фур'є

Таким чином:

Наша вихідна функція – безперервна, неперіодична, визначена на деякому відрізку довжиною T.
Спектр цієї функції – дискретний, тобто представлений у вигляді нескінченного ряду гармонійних складових – низки Фур'є.
По факту, поруч Фур'є визначається деяка періодична функція, що збігається з нашою на відрізку (0, T), але для нас ця періодичність не суттєва.

Періоди гармонійних складових кратні величині відрізка (0, T), на якому визначено вихідну функцію f(x). Інакше кажучи, періоди гармонік кратні тривалості вимірювання сигналу. Наприклад, період першої гармоніки низки Фур'є дорівнює інтервалу Т, у якому визначено функція f(x). Період другої гармоніки ряду Фур'є дорівнює інтервалу Т/2. І так далі (див. мал. 8).

рис.8 Періоди (частоти) гармонійних складових ряду Фур'є (тут Т=2π)

Відповідно, частоти гармонійних складових кратні величині 1/Т. Тобто частоти гармонійних складових Fk рівні Fk= к\Т, де пробігає значення від 0 до ∞, наприклад до=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к = 3 F3 = 3 \ T; ... Fk = к \ Т (при нульовій частоті - постійна складова).

Нехай наша вихідна функція є сигналом, записаним протягом Т=1 сек. Тоді період першої гармоніки дорівнюватиме тривалості нашого сигналу Т1=Т=1 сек і частота гармоніки дорівнює 1 Гц. Період другої гармоніки дорівнюватиме тривалості сигналу, поділеної на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) і частота дорівнює 2 Гц. Для третьої гармоніки Т3=Т/3 с і частота дорівнює 3 Гц. І так далі.

Крок між гармоніками в цьому випадку дорівнює 1 Гц.

Таким чином, сигнал тривалістю 1 сек можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з роздільною здатністю по частоті 1 Гц.
Щоб збільшити дозвіл у 2 рази до 0,5 Гц – треба збільшити тривалість вимірювання у 2 рази – до 2 сек. Сигнал тривалістю 10 с можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з роздільною здатністю по частоті 0,1 Гц. Інших способів збільшити роздільну здатність за частотою немає.

Існує спосіб штучного збільшення тривалості сигналу шляхом додавання нулів до масиву відліків. Але реальну роздільну здатність за частотою він не збільшує.

3. Дискретні сигнали та дискретне перетворення Фур'є

З розвитком цифрової технікизмінилися та способи зберігання даних вимірів (сигналів). Якщо раніше сигнал міг записуватися на магнітофон і зберігатись на стрічці в аналоговому вигляді, то зараз сигнали оцифровуються і зберігаються у файлах у пам'яті комп'ютера у вигляді набору чисел (відліків).

Звичайна схема вимірювання та оцифрування сигналу виглядає наступним чином.

рис.9 Схема вимірювального каналу

Сигнал із вимірювального перетворювача надходить на АЦП протягом періоду часу Т. Отримані за час Т відліки сигналу (вибірка) передаються в комп'ютер і зберігаються в пам'яті.

10 Оцифрований сигнал - N відліків отриманих за час Т

Які вимоги висуваються до параметрів оцифрування? Пристрій, що перетворює вхідний аналоговий сигнал дискретний код ( цифровий сигнал) називається аналого-цифровий перетворювач (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Однією з основних параметрів АЦП є максимальна частота дискретизації (або частота семплювання, англ. sample rate) - частота взяття відліків безперервного у часі сигналу за його дискретизації. Вимірюється у герцах. ((Wiki))

Відповідно до теореми Котельникова, якщо безперервний сигнал має спектр, обмежений частотою Fмакс, він може бути повністю і однозначно відновлено з його дискретним відлікам, взятим через інтервали часу , тобто. із частотою Fd ≥ 2*Fмакс, де Fd – частота дискретизації; Fмакс – максимальна частота спектра сигналу. Іншими словами, частота оцифровки сигналу (частота дискретизації АЦП) повинна як мінімум у 2 рази перевищувати максимальну частоту сигналу, який ми хочемо виміряти.

А що буде, якщо ми братимемо відліки з меншою частотою, ніж потрібно за теоремою Котельникова?

У цьому випадку виникає ефект «аліасингу» (він же стробоскопічний ефект, муаровий ефект), при якому сигнал високої частоти після оцифрування перетворюється на сигнал низької частоти, якого насправді не існує. На рис. 11 червона синусоїда високої частоти – це реальний сигнал. Синя синусоїда нижчої частоти - фіктивний сигнал, що виникає внаслідок того, за час взяття відліку встигає пройти більше, ніж півперіоду високочастотного сигналу.

Рис. 11. Поява помилкового сигналу низької частоти за недостатньо високої частоти дискретизації

Щоб уникнути ефекту аліасингу перед АЦП ставлять спеціальний антиаліасинговий фільтр - ФНЧ (фільтр нижніх частот), який пропускає частоти нижче за половину частоти дискретизації АЦП, а більш високі частоти зарізає.

Для того, щоб обчислити спектр сигналу за його дискретними відліками, використовується дискретне перетворення Фур'є (ДПФ). Зазначимо ще раз, що спектр дискретного сигналу «за визначенням» обмежений частотою Fмакс меншою половиною частоти дискретизації Fd. Тому спектр дискретного сигналу може бути представлений сумою кінцевого числа гармонік, на відміну від нескінченної суми для ряду безперервного Фур'є сигналу, спектр якого може бути необмежений. Відповідно до теореми Котельникова максимальна частота гармоніки має бути такою, щоб на неї припадало як мінімум два відліки, тому число гармонік дорівнює половині числа відліків дискретного сигналу. Тобто якщо у вибірці є N відліків, то число гармонік у спектрі дорівнюватиме N/2.

Розглянемо тепер дискретне перетворення Фур'є (ДПФ).

Порівнюючи з рядом Фур'є

Бачимо, що вони збігаються, за винятком того, що час у ДПФ має дискретний характер і число гармонік обмежено величиною N/2 – половиною числа відліків.

Формули ДПФ записуються в безрозмірних цілих змінних k, s де k – номери відліків сигналу, s – номери спектральних складових.
Величина s показує кількість повних коливань гармоніки на періоді Т (тривалості вимірювання сигналу). Дискретне перетворення Фур'є використовується знаходження амплітуд і фаз гармонік чисельним методом, тобто. "на комп'ютері"

Повертаючись до результатів, отриманих на початку. Як було зазначено вище, при розкладанні у ряд Фур'є неперіодичної функції (нашого сигналу), отриманий ряд Фур'є фактично відповідає періодичній функції з періодом Т. (рис.12).

рис.12 Періодична функція f(x) з періодом Т0, з періодом вимірювання Т>T0

Як видно з рис.12 функція f(x) періодична з періодом Т0. Однак через те, що тривалість вимірювальної вибірки Т не збігається з періодом функції Т0, функція, що отримується як ряд Фур'є, має розрив у точці Т. В результаті спектр цієї функції міститиме велику кількість високочастотних гармонік. Якби тривалість вимірювальної вибірки Т збігалася з періодом функції Т0, то отриманому після перетворення Фур'є спектрі була б тільки перша гармоніка (синусоїда з періодом рівним тривалості вибірки), оскільки функція f(x) являє собою синусоїду.

Іншими словами, програма ДПФ «не знає», що наш сигнал є «шматком синусоїди», а намагається представити у вигляді ряду періодичну функцію, яка має розрив через нестиковку окремих шматків синусоїди.

У результаті спектрі з'являються гармоніки, які мають у сумі зобразити форму функції, включаючи цей розрив.

Таким чином, щоб отримати «правильний» спектр сигналу, що є сумою декількох синусоїд з різними періодами, необхідно, щоб на періоді вимірювання сигналу вкладалося ціле число періодів кожної синусоїди. На практиці цю умову можна виконати за досить великої тривалості вимірювання сигналу.

Рис.13 Приклад функції та спектра сигналу кінематичної похибки редуктора

За меншої тривалості картина виглядатиме «гірше»:

Рис.14 Приклад функції та спектру сигналу вібрації ротора

Насправді буває складно зрозуміти, де «реальні складові», де «артефакти», викликані некратностью періодів складових і тривалості вибірки сигналу чи «стрибками і розривами» форми сигналу. Звичайно слова «реальні складові» та «артефакти» не дарма взяті у лапки. Наявність на графіку спектра безлічі гармонік означає, що наш сигнал насправді їх «складається». Це все одно що вважати, що число 7 «складається» з чисел 3 і 4. Число 7 можна представити у вигляді суми чисел 3 і 4 - це правильно.

Так і наш сигнал… а точніше навіть не «наш сигнал», а періодичну функцію, складену шляхом повторення нашого сигналу (вибірки) можна у вигляді суми гармонік (синусоїд) з певними амплітудами та фазами. Але в багатьох важливих для практики випадках (див. малюнки вище) дійсно можна пов'язати отримані в спектрі гармоніки і з реальними процесами, що мають циклічний характер і значний внесок у форму сигналу.

Деякі підсумки

1. Реальний виміряний сигнал, тривалістю T сек, оцифрований АЦП, тобто представлений набором дискретних відліків (N штук), має дискретний неперіодичний спектр, представлений набором гармонік (N/2 штук).

2. Сигнал представлений набором дійсних значень та його спектр представлений набором дійсних значень. Частоти гармонік позитивні. Те, що математикам буває зручніше уявити спектр у комплексній формі з використанням негативних частот, не означає, що «так правильно» і «так завжди треба робити».

3. Сигнал, виміряний на відрізку часу Т визначено тільки на відрізку часу Т. Що було до того, як ми почали вимірювати сигнал, і що буде після того – науці це невідомо. І в нашому випадку – нецікаво. ДПФ обмеженого в часі сигналу дає його «справжній» спектр, у тому сенсі, що за певних умов дозволяє обчислити амплітуду та частоту його складових.

Використані матеріали та інші корисні матеріали.

Цифрові фільтри (лекція)

За видом імпульсної характеристики цифрові фільтри поділяються на два великі класи:

· Фільтри з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ – фільтри, трансверсальні фільтри, нерекурсивні фільтри). Знаменник передавальної функції таких фільтрів – якась константа.

КІХ - фільтри характеризуються виразом:

· Фільтри з нескінченною імпульсною характеристикою (БІХ - фільтри, рекурсивні фільтри) використовують один або більше своїх виходів як вход, тобто утворюють зворотний зв'язок. Основною властивістю таких фільтрів є те, що їхня імпульсна перехідна характеристика має нескінченну довжину в часовій області, а передавальна функція має дробово-раціональний вигляд.

БІХ - фільтри характеризуються виразом:

Відмінність КІХ - фільтрів від БІХ - фільтрів полягає в тому, що у КІХ - фільтрів вихідна реакція залежить від вхідних сигналів, а у БІХ - фільтрів вихідна реакція залежить від поточного значення.

Імпульсна характеристика- Це реакція схеми на одиничний сигнал.

Единичний сигнал

Таким чином, одиничний сигнал лише в одній точці дорівнює одиниці – у точці початку координат.

Затриманий единичний сигналвизначається так:

Таким чином, затриманий одиничний сигнал затримує k періодів дискретизації.

Сигнали та спектри

Дуальність (подвійність) уявлення сигналів.

Усі сигнали можна у тимчасової чи частотної площині.

Причому частотних площин – кілька.

Тимчасова площина.

Перетворення.

Частотна поверхня.

Для перегляду сигналу в часовій площині існує прилад:

Припустимо, що тут є досить довгий синусоїдальний сигнал (в 1 сек. 1000 разів повторилася синусоїда):

Візьмемо сигнал із частотою, вдвічі більше:

Складемо ці сигнали. Отримаємо не синусоїду, а спотворений сигнал:

Перетворення з тимчасової площини частотну площину виробляються за допомогою перетворень Фур'є.

Для перегляду сигналу частотної площині існує прилад:

Частота циклічна або кругова ( f).

Частотна площина покаже засічку:

Величина засічки пропорційна амплітуді синусоїди, а частота:

Для другого сигналу частотна область покаже інше засічення:

У часовій області сумарного сигналу з'явиться 2 засічки:

Обидва уявлення сигналу рівноцінні і користуються або першим, або іншим уявленням, залежно від цього, який зручніше.

Перетворення з тимчасової площини частотну площину може здійснюватися різними шляхами. Наприклад: за допомогою перетворень Лапласа або за допомогою перетворень Фур'є.

Три форми запису рядів Фур'є.

Існує три форми запису рядів Фур'є:

· Синус – косинусна форма.

· Речова форма.

· Комплексна форма.

1.) У синус – косинусній формі ряд Фур'є має вигляд:

кратні частоти, що входять у формулу kω 1 називаються гармоніками; гармоніки нумеруються відповідно до індексу k; частота ωk =kω 1називається k-й гармонікою сигналу.

Цей вислів говорить про наступне: будь-яку періодичну функцію можна у вигляді суми гармонік, де:

T- Період повторень цієї функції;

ω - Кругова частота.

, де

t- поточний час;

T- Період.

При розкладанні Фур'є найголовніше – це періодичність. За рахунок неї відбувається дискретизація за частотою, починається кілька гармонік.

Для того щоб встановити можливість тригонометричного розкладання для заданої періодичної функції, потрібно виходити з певного набору коефіцієнтів. Прийом їх визначення придумав у другій половині XVIII століття Ейлер і незалежно від нього на початку XIX століття - Фур'є.

Три формули Ейлера для визначення коефіцієнтів:

; ;

Формули Ейлера не потребують жодних доказів. Ці формули точні за нескінченної кількості гармонік. Ряд Фур'є – усічений ряд, тому що немає нескінченної кількості гармонік. Коефіцієнт усіченого ряду обчислюється за тими ж формулами, що й повного ряду. У цьому випадку середня квадратична помилка – мінімальна.

Потужність гармонік падає зі збільшенням їхнього номера. Якщо додати/відкинути деякі гармонійні складові, перерахунок інших членів (інших гармонік) не потрібно.

Практично всі функції є парними або непарними:

ЧИТНА ФУНКЦІЯ

НЕЧІТНА ФУНКЦІЯ

Характеризується рівнянням:

Наприклад, функція Cos:

у якої: t = −t

Парна функція симетрична щодо

осі ординат.

Якщо функція парна, всі синусні коефіцієнти bk косинуснідоданки.

Характеризується рівнянням:

Наприклад, функція Sin:

Непарна функція симетрична щодо центру.

Якщо функція непарна, то всі косинусні коефіцієнти akбудуть рівні нулю і у формулі ряду Фур'є будуть присутні тільки синуснідоданки.

2.) Речова форма записи ряду Фур'є.

Певна незручність синусно-косинусної форми ряду Фур'є полягає в тому, що для кожного значення індексу підсумовування k(тобто для кожної гармоніки з частотою kω 1) у формулі фігурує два доданки – синус та косинус. Скориставшись формулами тригонометричних перетворень, суму цих двох доданків можна трансформувати в косинус тієї ж частоти з іншою амплітудою та деякою початковою фазою:

, де

;

Якщо S(t) є парною функцією, фази φ можуть приймати тільки значення 0 π , а якщо S(t) - функція непарна, то можливі значення для фази φ рівні + π /2.

Якщо bk= 0, тоді tg φ = 0 та кут φ = 0

Якщо ak= 0, тоді tg φ - Безкінечний і кут φ =

У цій формулі може бути і мінус (дивлячись, який напрямок взято).

3.) Комплексна форма записи ряду Фур'є.

Дана форма уявлення низки Фур'є є, мабуть, найбільш уживаною в радіотехніці. Вона виходить із речовинної форми уявленням косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонентів (таке уявлення випливає з формули Ейлера ejθ = Cosθ + jSinθ):

Застосувавши це перетворення до речовинної форми низки Фур'є, отримаємо суми комплексних експонентів з позитивними та негативними показниками:

А тепер трактуватимемо експоненти зі знаком «мінус» у показнику як члени ряду з негативними номерами. В рамках цього ж загального підходу постійний доданок a 0/2 стане членом ряду із нульовим номером. В результаті вийде комплексна форма запису ряду Фур'є:

Формула розрахунку коефіцієнтів Ckряду Фур'є:

Якщо S(t) є парнийфункцією, коефіцієнти ряду Ckбудуть чисто речовими, а якщо S(t) - функція непарна, коефіцієнти ряду виявляться чисто уявними.

Сукупність амплітуд гармонік ряду Фур'є часто називають амплітудним спектром, А сукупність їх фаз - фазовим спектром.

Спектром амплітуд є дійсна частина коефіцієнтів Ckряду Фур'є:

Re ( Ck) - Спектр амплітуд.

спектр прямокутних сигналів.

Розглянемо сигнал у вигляді послідовності прямокутних імпульсів із амплітудою A, тривалістю τ та періодом повторення T. Початок відліку часу приймемо розташованим у середині імпульсу.

Даний сигнал є парною функцією, тому для його уявлення зручніше використовувати синусно-косинусну форму ряду Фур'є – в ній будуть присутні лише косинусні доданки ak, рівні:

З формули видно, що тривалість імпульсів і період їхнього прямування входять до неї не відокремлено, а виключно у вигляді відношення. Цей параметр – відношення періоду до тривалості імпульсів – називають шпаруватістюпослідовності імпульсів і позначають літерою: g: g = T/?. Введемо цей параметр отриману формулу для коефіцієнтів ряду Фур'є, а потім наведемо формулу до виду Sin(x)/x:

Примітка: У зарубіжній літературі замість шпаруватості використовується зворотна величина, яка називається коефіцієнтом заповнення (duty cycle) і дорівнює τ / T.

При такій формі запису стає добре видно, чому дорівнює значення постійного складеного ряду: оскільки при x→ 0 Sin( x)/x→1, то

Тепер можна записати і саме уявлення послідовності прямокутних імпульсів у вигляді ряду Фур'є:

Амплітуди гармонійних доданків ряду залежать від номера гармоніки за законом Sin( x)/x.

Графік функції Sin( x)/xмає пелюстковий характер. Говорячи про ширину цих пелюсток, слід підкреслити, що для графіків дискретних спектрів періодичних сигналів можливі два варіанти градуювання горизонтальної осі – у номерах гармонік та частотах.

На малюнку градуювання осі відповідає номерам гармонік, а частотні параметри спектра нанесені графік за допомогою розмірних ліній.

Отже, ширина пелюсток, виміряна в кількості гармонік, дорівнює шпаруватості послідовності (при k = ngмаємо Sin (π k/g) = 0, якщо n≠ 0). Звідси випливає важлива властивість спектра послідовності прямокутних імпульсів – у ньому відсутні (мають нульові амплітуди) гармоніки з номерами, кратними шпаруватості.

Відстань по частоті між сусідніми гармоніками дорівнює частоті проходження імпульсів - 2 π /T. Ширина пелюсток спектру, виміряна в одиницях частоти, дорівнює 2 π /τ , тобто обернено пропорційна тривалості імпульсів. Це прояв загального закону – чим коротший сигнал, тим ширший його спектр.

Висновок : для будь-якого сигналу відомі його розкладання ряд Фур'є. Знаючи τ і Tможемо порахувати, скільки гармонік потрібно, щоб передати потужність.

Методи аналізу лінійних систем із постійними коефіцієнтами.

Завдання у постановці:

Є лінійна система (не залежить від амплітуди сигналу):

COEFFS: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0; визначаємо порти введення.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1; визначаємо порти виведення.

ORG P: 0; організація P-пам'яті.

RESET: JMP START; безперечний перехід на мітку START.

P:100; програма почнеться з сотого осередку.

START: MOVE BUF_X, R0; початкову адресу X вводимо R0.

MOVE# ORDFIL─1, M0; перех. до мод. ариф.(зап. число на 1мен., чим поряд. цього буф.)

MOVE# COEFFS, R4; організація цикл. буфера для коефіцієнтів. у Y-пам'яті.

MOVE# M0, M4; т. к.довжина повинна збігатися, то перес. з M0 до M4.

CLRA; обнулили акумулятор.

REP# ORDFIL; повторити ланцюжкову операцію.

MOVE A, X: (R4) +; викон. автоінкремент та всі осередки буф. обнулюємо.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X - (R0); побайт. пересилання показань (остан. розумн. b0).

REP# ORDFIL─1; повт. ланцюжкову операцію(39раз розумн. без округлення)

MAC X0, Y0, A X: (R0) +, X0 Y: (R4) +, Y0; X0наY0, рез. в ак; підг. сл. опер.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD; побайтове пересилання утрим. акумулятора.

JMP LOOP; безперечний перехід на мітку LOOP.

Порядок проектування цифрових фільтрів.

Порядок проектування цифрових фільтрів передусім пов'язані з типом фільтра лінії частотних характеристик. Однією з часто виникають практично завдань є створення фільтрів, пропускають сигнали у певній смузі частот і затримують інші частоти. Є чотири типи:

1.) Фільтри нижніх частот (ФНЧ; англійський термін – low-pass filter), що пропускають частоти, менші за деяку частоту зрізу ω 0.

2.) Фільтри верхніх частот (ФВЧ; англійський термін – high-pass filter), що пропускають частоти, великі деякої частоти зрізу ω 0.

3.) Полосові фільтри (ПФ; англійський термін – band-pass filter), що пропускають частоти в деякому діапазоні ω 1…. ω 2 (вони можуть також характеризуватись середньою частотою ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Режекторні фільтри (інші можливі назви – фільтр, що загороджує, фільтр-пробка, полосно-затримуючий фільтр; англійський термін – band-stop filter), що пропускають на вихід Усечастоти, крімщо лежать у деякому діапазоні ω 1…. ω 2 (вони також можуть характеризуватись середньою частотою ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 та шириною смуги пропускання Δ ω = ω 2 – ω 1).

Ідеальна форма АЧХ фільтрів цих чотирьох типів:

Проте, така ідеальна (прямокутна) форма АЧХ може бути фізично реалізована. Тому в теорії аналогових фільтрів розроблено низку методів апроксимаціїпрямокутних АЧХ.

Крім того, розрахувавши ФНЧ, можна нескладними перетвореннями змінити його частоту зрізу, перетворити його на ФВЧ, смуговий або режекторний фільтр із заданими параметрами. Тому розрахунок аналогового фільтра починається з розрахунку так званого фільтра-прототипу, що являє собою ФНЧ із частотою зрізу, що дорівнює 1 рад/с.

1.) Фільтр Баттерворта:

Функція передачі фільтра-прототипу Баттерворта (Butterworth filter) немає нулів, та її полюси рівномірно розташовані на s-площини в лівій половині кола одиничного радіусу.

Для фільтра Баттерворта частота зрізу визначається за рівнем 1/. Фільтр Баттерворт забезпечує максимально плоскувершину у смузі пропускання.

2.) Фільтр Чебишева першого роду:

Функція передачі фільтра Чебишева першого роду (Chebyshev type I filter) також немає нулів, та її полюси розташовані у лівій половині еліпса на s-площини. Для фільтра Чебишева першого роду частота зрізу визначається за рівнем пульсацій у смузі пропускання.

Порівняно з фільтром Баттерворт того ж порядку, фільтр Чебишева забезпечує більш крутий спад АЧХ в області переходу від смуги пропускання до смуги затримування.

3.) Фільтр Чебишева другого роду:

Функція передачі фільтра Чебишева другого роду (Chebyshev type II filter), на відміну попередніх випадків, має і нулі, і полюси. Фільтри Чебишева другого роду називають інверсними фільтрами Чебишева (inverse Chebyshev filter). Частотою зрізу фільтра Чебишева другого роду вважається не кінець смуги пропускання, а початок смуги затримування. Коефіцієнт передачі фільтра на нульовій частоті дорівнює 1, на частоті зрізу - заданого рівня пульсацій у смузі затримування. При ω → ∞ коефіцієнт передачі дорівнює нулю при непарному порядку фільтра та рівню пульсацій – при парному. При ω = 0 АЧХ фільтра Чебишева другого роду є максимально плоскою.

4.) Еліптичні фільтри:

Еліптичні фільтри (фільтри Кауера; англійські терміни – elliptic filter, Cauer filter) у певному сенсі поєднують у собі властивості фільтрів Чебишева першого та другого роду, оскільки АЧХ еліптичного фільтра має пульсації заданої величини, як у смузі пропускання, так і у смузі затримування. За рахунок цього вдається забезпечити максимально можливу (при фіксованому порядку фільтра) крутість ската АЧХ, тобто перехідної зони між смугами пропускання та затримання.

Функція передачі еліптичного фільтра має як полюси, і нулі. Нулі, як і у разі фільтра Чебишева другого роду, є чисто уявними та утворюють комплексно-сполучені пари. Кількість нулів функції передачі дорівнює максимальному парному числу, що не перевищує порядку фільтра.

Функції MATLAB для розрахунку фільтрів Баттерворта, Чебишева першого та другого роду, а також еліптичних фільтрів дозволяють розраховувати як аналогові, так і дискретні фільтри. Функції розрахунку фільтрів вимагають завдання як вхідні параметри порядку фільтра та його частоти зрізу.

Порядок фільтру залежить:

від допустимої нерівномірності у смузі пропускання від величини зони невизначеності. (Чим менше зона невизначеності, тим крутіше спад частотної характеристики).

Для КІХ-фільтрів порядок становить кілька десятків або сотень, а для БІХ-фільтрів порядок не перевищує кілька одиниць.

Піктограми дають змогу переглянути всі коефіцієнти. Проектування фільтра провадиться на одному вікні.

Форми запису ряду Фур'є. Сигнал називається періодичним,якщо його форма циклічно повторюється у часі Періодичний сигнал u(t)у загальному вигляді записується так:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,...

Тут Т-період сигналу. Періодичні сигнали може бути як простими, і складними.

Для математичного представлення періодичних сигналів з періодом Тчасто користуються поруч (2.2), в якому як базисні функції вибираються гармонійні (синусоїдальні та косинусоїдальні) коливання кратних частот

y 0 (t) = 1; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; …, (2.3)

де w 1 =2p/T-основна кутова частота послідовності

функцій. При гармонійних базисних функціях із низки (2.2) отримуємо ряд Фур'є (Жан Фур'є - французький математик і фізик ХІХ століття).

Гармонічні функції виду (2.3) у ряді Фур'є мають такі переваги: ​​1) простий математичний опис; 2) інваріантність до лінійних перетворень, тобто якщо на вході лінійного ланцюга діє гармонійне коливання, то і на виході її також буде гармонійне коливання, що відрізняється від вхідного лише амплітудою та початковою фазою; 3) як і сигнал, гармонійні функції періодичні та мають нескінченну тривалість; 4) техніка генерування гармонійних функцій досить проста.

З курсу математики відомо, що з розкладання періодичного сигналу до ряду з гармонійним функціям (2.3) необхідно виконання умов Дирихле. Але всі реальні періодичні сигнали цим умовам задовольняють і їх можна у вигляді ряду Фур'є, який може бути записаний в одній із таких форм:

u(t)=A 0 /2+ (A′ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

де коефіцієнти

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

або у комплексній формі

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

З (2.4) - (2.9) слід, що у випадку періодичний сигнал u(t) містить постійну складову A 0 /2і набір гармонійних коливань основний частоти w 1 =2pf 1 та її гармонік з частотами w n =nw 1 , n=2 ,3,4,… Кожне з гармонійних

коливань ряду Фур'є характеризується амплітудойі початковою фазою y n .nn

Спектральна діаграма та спектр періодичного сигналу. Якщо будь-який сигнал представлений у вигляді суми гармонійних коливань із різними частотами, то кажуть, що здійснено спектральне розкладаннясигналу.

Спектральною діаграмоюсигналу прийнято називати графічне зображення коефіцієнтів низки Фур'є цього сигналу. Розрізняють амплітудні та фазові діаграми. На рис. 2.6 в деякому масштабі горизонтальної осі відкладені значення частот гармонік, по зертикальній осі - їх амплітуди A mn і фази y n . Причому амплітуди гармонік можуть набувати лише позитивних значень, фази - як позитивні, так і негативні значення в інтервалі -p£y n £p

Спектр сигналу- це сукупність гармонійних складових із конкретними значеннями частот, амплітуд та початкових фаз, що утворюють у сумі сигнал. У технічних додатках практично спектральні діаграми називають коротше - амплітудний спектр фазовий спектр.Найчастіше цікавляться амплітудною спектральною діаграмою. Нею можна оцінити відсотковий зміст гармонік у спектрі.

Приклад 2.3. Розкласти ряд Фур'є періодичну послідовність прямокутних відеоімпульсів звідомими параметрами (U m , T, t z),парну "Щодо точки t=0. Побудувати спектральну діаграму амплітуд та фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t та =2 та 8.

Заданий періодичний сигнал на інтервалі одного періоду можна записати як

Скористайтеся для представлення цього сигналу формою запису ряду Фур'є ввигляді (2.4). Оскільки сигнал парний, то в розкладі залишаться тільки косинусоїдальні складові.

Рис. 2.6. Спектральні діаграми періодичного сигналу:

а - амплітудна; б- фазова

Інтеграл від непарної функції за період дорівнює нулю. За формулами (2.5) знаходимо коефіцієнти

що дозволяють записати ряд Фур'є:

Для побудови спектральних діаграм при конкретних числових даних задаємося я = 0, 1, 2, 3 ... і обчислюємо коефіцієнти гармонік. Результати розрахунку перших восьми складових спектру зведено у табл. 2.1. У ряді (2.4) А" mn = 0і згідно з (2.7) A mn =|A' mn |, основна частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплітудний спектр на мал.

2.7 побудований для таких n,при яких А mnбільше ніж 5% максимального значення.

З наведеного прикладу 2.3 випливає, що зі збільшенням шпаруватості збільшується число спектральних складових та зменшуються їх амплітуди. Кажуть, що такий сигнал має багатий спектр. Необхідно відзначити, що для багатьох практично застосовуваних сигналів немає необхідності проводити обчислення амплітуд та фаз гармонік за наведеними раніше формулами.

Таблиця 2.1. Амплітуди складових ряду Фур'є періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Рис. 2.7. Спектральні діаграми періодичної послідовності імпульсів: а-при свердловості S-2; - б-при шпаруватості S=8

У математичних довідниках є таблиці розкладів сигналів до ряду Фур'є. Одна з таких таблиць наведена в додатку (табл. П.2).

Часто виникає питання: скільки ж взяти спектральних складових (гармонік), щоб представити реальний сигнал поруч Фур'є? Адже ряд, строго кажучи, нескінченний. Однозначної відповіді тут не можна дати. Все залежить від форми сигналу та точності його уявлення поруч Фур'є. Більш плавне зміна сигналу - менше потрібно гармонік. Якщо сигнал має стрибки (розриви), необхідно сумувати більше гармонік задля досягнення такої ж похибки. Однак у багатьох випадках, наприклад, у телеграфії, вважають, що й передачі прямокутних імпульсів з крутими фронтами досить трьох гармонік.