Теоретичний мінімумПоняття межі стосовно числовим послідовностям вже вводилося у темі " " .
Рекомендується спочатку ознайомитися з матеріалом, що міститься там.Переходячи до предмета цієї теми, нагадаємо поняття функції. Функція є черговим прикладом відображення. Ми будемо розглядати найпростіший випадок
речової функції одного речового аргументу (у чому полягає складність інших випадків - буде сказано пізніше). Функція у рамках цієї теми розуміється як
закон, за яким кожному елементу множини, на якому визначено функцію, ставиться у відповідність один або кілька елементів
множини, званого безліччю значень функції. Якщо кожному елементу області визначення функції ставиться у відповідність один елемент
множини значень, то функція називається однозначною, в іншому випадку функція називається багатозначною. Ми тут говоритимемо для простоти тільки про
однозначних функціях.Одночасно хотілося б підкреслити принципове відмінність функції від послідовності: істотно різні множини, пов'язані відображенням цих двох випадках.
Щоб уникнути необхідності використовувати термінологію загальної топології, пояснимо різницю за допомогою неточних міркувань. Під час обговорення межі
Послідовність ми говорили тільки про один варіант: необмежене зростання номера елемента послідовності. При цьому зростанні номера самі елементи
послідовності поводилися набагато різноманітніше. Вони могли "накопичуватися" в малій околиці деякого числа; вони могли необмежено зростати тощо.
Грубо кажучи, завдання послідовності - завдання функції дискретної "області визначення". Якщо ж говорити про функцію, визначення якої дане
на початку теми, то поняття межі слід будувати акуратніше. Має сенс говорити про межу функції при прагненні її аргументу до певного значення .
Така постановка питання не мала сенсу стосовно послідовностей. Виникає потреба внести деякі уточнення. Всі вони пов'язані з тим,
як саме аргумент прагне того значення, про яке йдеться.Розглянемо кілька прикладів - поки що побіжно:
Ці функції дозволять нам розглянути самі різні випадки. Наведемо тут графіки цих функцій для більшої наочності викладу.Функція у будь-якій точці області визначення має межу – це зрозуміло інтуїтивно. Яку б точку області визначення ми не взяли,
відразу можна сказати, якого значення прагне функція, при прагненні аргументу до обраного значення, причому межа буде кінцевою, якщо тільки аргумент
не прагне нескінченності. Графік функції має злам. Це позначається на властивостях функції у точці зламу, але з погляду межі
ця точка нічим не виділена. Функція вже цікавіша: у точці незрозуміло, яке значення межі приписати функції.
Якщо ми підходимо до точки праворуч, то функція прагне одного значення, якщо ліворуч - функція прагне іншого значення. У попередніх
прикладів такого не було. Функція при прагненні до нуля хоч ліворуч, хоч праворуч поводиться однаково, прагнучи нескінченності.
на відміну від функції , яка при прагненні аргументу до нуля прагне нескінченності, але знак нескінченності залежить від того, з якою
сторони ми наближаємося до нуля. Нарешті, функція поводиться в нулі абсолютно незрозуміло.Формалізуємо поняття межі за допомогою мови "епсілон-дельта". Основна відмінність від визначення межі послідовності полягатиме в необхідності
прописати прагнення аргументу функції до певного значення. Для цього потрібно допоміжне в даному контексті поняття граничної точки множини.
Крапка називається граничною точкою множини, якщо в будь-якій околиціміститься безліч точок,
належать і відмінні від . Трохи пізніше стане зрозумілим, навіщо потрібно давати таке визначення.Отже, число називається межею функції в точці , що є граничною точкою множини , на якому визначено
функція, якщо
Послідовно розберемо це визначення. Виділимо тут частини, пов'язані з прагненням аргументу до значення та з прагненням функції
до значення. Слід розуміти загальний зміст записаного твердження, який приблизно можна трактувати так.
Функція прагне при, якщо взявши число з досить малої околиці точки, ми будемо
отримувати значення функції із досить малої околиці числа. І чим менше буде околиця точки, з якої беруться значення.
аргументу, тим менше стане околиця точки , у яку потраплятимуть відповідні значення функції.Знову повернемося до формального визначення межі і прочитаємо його у світлі щойно сказаного. Позитивне число обмежує околицю
точки, з якої будемо брати значення аргументу. Причому значення аргументу, звичайно, з області визначення функції і не збігаються з самою
точкою: адже ми прагнення пишемо, а не збіг! Так ось якщо ми візьмемо значення аргументу з вказаної околиці точки ,
то значення функції потрапить в околиці точки.
Нарешті, зводимо визначення воєдино. Якою б малою ми не вибрали -околиця точки, завжди знайдеться така -околиця точки,
що при виборі значень аргументу з неї ми потрапимо в околицю точки. Зрозуміло, розмір околиці точки при цьому
залежить від цього, яка була задана околиця точки . Якщо околиця значення функції буде досить велика, то й відповідний розкид значень
аргумент буде великим. Зі зменшенням околиці значення функції зменшиться і відповідний розкид значень аргументу (див. рис. 2).Залишилось уточнити деякі деталі. По-перше, вимога, щоб точка була граничною, позбавляє необхідності дбати, що точка
з околиці взагалі належить області визначення функції. По-друге, участь у визначенні межі умовиозначає,
що аргумент може прагнути значення як зліва, і справа.Для випадку, коли аргумент функції прагне безкінечності, слід окремо визначити поняття граничної точки. називається граничною
точкою множини, якщо для будь-якого позитивного числа в інтервалі міститься безліч
точок з множини.Повернемося до прикладів. Функція особливого інтересу нам не представляє. Розберемося докладніше з іншими функціями.
приклади.
приклад 1. Графік функції має злам.
Функціянезважаючи на особливість у точці має у цій точці межу. Особливість у нулі – втрата гладкості.
приклад 2. Односторонні межі.
Функція у точці не має межі. Як зазначалося, для існування межі потрібно, щоб у прагненні
ліворуч і праворуч функція прагнула до того самого значення. Тут це, мабуть, не виконується. Однак можна запровадити поняття односторонньої межі.
Якщо аргумент прагне даному значеннюз боку більших значень, то говорять про правосторонню межу; якщо з боку менших значень –
про ліву межу.
У разі функції- правостороння межа Однак можна навести приклад, коли нескінченні коливання синуса не заважають існуванню межі (причому двосторонньої).
Прикладом може бути функція. Графік наведено нижче; зі зрозумілих причин побудувати його до кінця на околиці
початку координат неможливо. Межа при дорівнює нулю.Зауваження.
1. Існує підхід до визначення межі функції, що використовує межу послідовності – т.зв. визначення Гейне. Там будується послідовність точок, що сходить до необхідного значення
аргументу - тоді відповідна послідовність значень функції сходить до межі функції у цьому значенні аргументу. Еквівалентність визначення Гейне та визначення мовою
"епсілон-дельта" доводиться.
2. Випадок функцій двох і більше аргументів ускладнюється тим, що для існування межі в точці потрібно, щоб значення межі виходило одним і тим же за будь-якого способу прагнення аргументу
до необхідного значення. Якщо аргумент один, то до необхідного значення можна ліворуч або праворуч. У разі більшої кількості змінних кількість варіантів різко зростає. Випадок функцій
комплексної змінної взагалі потребує окремої розмови.
texvc -околицябезлічі у функціональному аналізі та суміжних дисциплінах - це така безліч, кожна точка якого віддалена від даної множинине більше, ніж на Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \varepsilon
.
Визначення
- Нехай Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл
texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): (X,\varrho)є метричний простір, Неможливо розібрати вираз (виконуваний файлtexvcНЕ знайдений; Math/README - довідка з налаштування.): x_0 \in X,і Неможливо розібрати вираз (виконуваний файлtexvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідка з налаштування.): \varepsilon > 0. Неможливо розібрати вираз (виконуваний файлtexvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \varepsilon-околицею Неможливо розібрати вираз (виконуваний файлtexvcназивається безліч
texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.
- Нехай дано підмножину Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл
texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): A \subset X.Тоді Неможливо розібрати вираз (виконуваний файлtexvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \varepsilon-околицею цієї множини називається безліч
texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка з налаштування.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).
Зауваження
- Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл
texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \varepsilon-Навколо точки Неможливо розібрати вираз (виконуваний файлtexvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): x_0таким чином називається відкритий шар з центром в Неможливо розібрати вираз (виконуваний файлtexvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): x_0та радіусом Неможливо розібрати вираз (виконуваний файлtexvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \varepsilon. - Прямо з визначення випливає, що
texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.
- Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл
texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \varepsilon-околиця є околицею і, зокрема, відкритим безліччю.
Приклади
Напишіть відгук про статтю "Епсилон-околиця"
Уривок, що характеризує Епсилон-околиця
– Ну що – послухаємо? - Нетерпляче підштовхувала мене мала.Ми підійшли впритул... І я відчула чудово-м'який дотик блискучої хвилі... Це було щось неймовірно ніжне, напрочуд ласкаве і заспокійливе, і в той же час, що проникало в саму «глибинку» моєї здивованої і трохи настороженої душі... По моїй стопі пробігла, вібруючи мільйонами різних відтінків, тиха «музика» і, піднімаючись нагору, почала огортати мене з головою чимось казково красивим, чимось, що не піддається жодним словам... Я відчувала, що лечу, хоча ніякого польоту наяву не було. Це було чудово!.. Кожна клітинка розчинялася і танула в новій хвилі, що набігала, а блискуче золото вимивало мене наскрізь, несучи все погане і сумне і залишаючи в душі тільки чисте, первозданне світло...
Я навіть не відчула, як увійшла і поринула в це блискуче диво майже з головою. Було просто неймовірно добре і не хотілося ніколи звідти виходити...
– Ну, все, годі вже! Нас завдання чекає! - Увірвався в сяючу красу напористий Стеллін голосок. - Тобі сподобалося?
– О, ще як! - Видихнула я. - Так не хотілося виходити!
- Ось ось! Так і купаються деякі до наступного втілення... А потім уже більше сюди не повертаються...
Розглянуто загальне визначення околиці точки на числовій прямій. Визначення епсілон околиці, лівосторонньої, правосторонньої та проколотої околиць кінцевих і нескінченно віддалених точок. Властивість околиці. Доведено теорему про рівносильність використання епсілон околиці та довільного околиці у визначенні межі функції по Коші.
ЗмістВизначення околиці точки
Околицею дійсної точки x 0
називається будь-який відкритий інтервал, що містить цю точку:
.
Тут ε 1
та ε 2
- Довільні позитивні числа.
Епсилон – околицею точки x 0
називається безліч точок, відстань від яких до точки x 0
менше ε:
.
Проколотою околицею точки x 0
називається околиця цієї точки, з якої виключили саму точку x 0
:
.
Околиці кінцевих точок
На початку було дано визначення околиці точки. Її позначають як . Але можна явно зазначити, що околиця залежить від двох чисел, використовуючи відповідні аргументи:
(1)
.
Тобто околиця - це безліч точок, що належать відкритому інтервалу.
Прирівнявши ε 1
до ε 2
, отримаємо епсілон - околиця:
(2)
.
Епсилон – околиця – це безліч точок, що належить відкритому інтервалу з рівновіддаленими кінцями.
Зрозуміло, букву эпсилон можна замінити будь-яку іншу і розглядати δ - околиця, σ - околиця, тощо.
Теоретично меж можна використовувати визначення околиці, засноване як у множині (1), і на множині (2). Використання будь-якого з цих околиць дає еквівалентні результати (див. ). Але визначення (2) простіше, тому часто використовують саме епсілон - околиця точки, що визначається з (2).
Також широко використовують поняття лівосторонніх, правосторонніх і проколотих околиць кінцевих точок. Наводимо їх визначення.
Лівостороння околиця дійсної точки x 0
- це напіввідкритий інтервал, розташований на дійсній осі зліва від точки x 0
, включаючи саму точку:
;
.
Правостороння околиця дійсної точки x 0
- це напіввідкритий інтервал, розташований праворуч від точки x 0
, включаючи саму точку:
;
.
Проколоті околиці кінцевих точок
Проколоті околиці точки x 0 - це ті самі околиці, з яких виключена сама точка. Вони позначаються з кружечком над літерою. Наводимо їх визначення.
Проколота околиця точки x 0
:
.
Проколота епсілон - околиця точки x 0
:
;
.
Проколота лівостороння околиця:
;
.
Проколота правостороння околиця:
;
.
Околиці нескінченно віддалених точок
Поряд з кінцевими точками також вводять поняття околиці нескінченно віддалених точок. Усі вони є проколотими, оскільки немає нескінченно віддаленого дійсного числа (нескінченно віддалена точка визначається як межа нескінченно великої послідовності).
.
;
;
.
Можна було визначити околиці нескінченно віддалених точок і так:
.
Але замість M ми використовуємо , щоб околиця з меншим ε була підмножиною околиці з великим ε, як і для околиць кінцевих точок.
Властивість околиці
Далі ми використовуємо очевидну властивість околиці точки (кінцевої чи нескінченно віддаленої). Воно полягає в тому, що околиці точок з меншими значеннями є підмножинами околиць з великими значеннями. Наводимо більш суворі формулювання.
Нехай є кінцева чи нескінченно віддалена точка. І нехай .
Тоді
;
;
;
;
;
;
;
.
Також справедливі та зворотні твердження.
Еквівалентність визначень межі функції по Коші
Тепер покажемо, що у визначенні межі функції по Коші можна використовувати як довільну околицю, так і околицю з рівновіддаленими кінцями.
Теорема
Визначення межі функції по Коші, в яких використовуються довільні околиці та околиці з рівновіддаленими кінцями еквівалентні.
Доведення
Сформулюємо перше визначення межі функції.
Число a є межею функції в точці (кінцевої або нескінченно віддаленої), якщо для будь-яких позитивних чисел існують такі числа , що залежать від і , що для всіх , належить околиці точки a :
.
Сформулюємо друге визначення межі функції.
Число a є межею функції в точці, якщо для будь-якого позитивного числа існує таке число, що залежить від, що для всіх:
.
Доказ 1 ⇒ 2
Доведемо, що коли число a є межею функції за 1-м визначенням, воно також є межею і за 2-м визначенням.
Нехай виконується перше визначення. Це означає, що є такі функції і для будь-яких позитивних чисел виконується наступне:
при , де.
Оскільки числа та довільні, то прирівняємо їх:
.
Тоді є такі функції і , так що для кожного виконується таке:
при , де.
Зауважимо, що .
Нехай є найменше із позитивних чисел і . Тоді, згідно з зазначеним вище ,
.
Якщо то .
Тобто ми знайшли таку функцію, так що для будь-якого виконується таке:
при , де.
Це означає, що число a є межею функції та другого визначення.
Доказ 2 ⇒ 1
Доведемо, що коли число a є межею функції за 2-м визначенням, воно також є межею і за 1-м визначенням.
Нехай виконується друге визначення. Візьмемо два позитивні числа і . І нехай – найменше з них. Тоді, згідно з другим визначенням, є така функція , так що для будь-якого позитивного числа і для всіх слід, що
.
Але згідно з , . Тому з того, що випливає, що
.
Тоді для будь - яких позитивних чисел і ми знайшли два числа , так що для всіх :
.
Це означає, що число a є межею та за першим визначенням.
Теорему доведено.
Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
Які значки крім знаків нерівностей та модуля ви знаєте?
З курсу алгебри нам відомі такі позначення:
- Квантор загальності позначає - "для будь-якого", "для всіх", "для кожного", тобто запис слід прочитати "для будь-якого позитивного епсілон";
- Квантор існування, - Існує значення, що належить безлічі натуральних чисел.
- Довга вертикальна палиця читається так: «таке, що», «така, що», «такий, що» або «такі, що», в нашому випадку, очевидно, йдеться про номер – тому «такий, що»;
– для всіх «ен», більших за ;
- Знак модуля означає відстань, тобто. цей запис повідомляє нам про те, що відстань між значеннями менша за епсілон.
Визначення межі послідовності
І справді, трохи поміркуємо – як сформулювати суворе визначення послідовності? …Перше, що спадає на думку у світлі практичного заняття: «межа послідовності – це число, якого нескінченно близько наближаються члени послідовності».
Добре, розпишемо послідовність:
Неважко вловити, що підпослідовність нескінченно близько наближаються до –1, а члени з парними номерами – до «одиниці».
А може бути межі дві? Але тоді чому якась послідовність їх не може мати десять чи двадцять? Так можна зайти далеко. У цьому логічно вважати, що й у послідовності існує межа, він єдиний.
Примітка: послідовність не має межі, проте з неї можна виділити дві підпослідовності (див. вище), у кожної з яких існує своя межа.
Таким чином, висловлене вище визначення виявляється неспроможним. Так, воно працює для випадків на кшталт (ніж я не зовсім коректно користувався у спрощених поясненнях практичних прикладів), але тепер нам необхідно знайти суворе визначення.
Спроба друга: «межа послідовності - це число, до якого наближаються ВСІ члени послідовності, за винятком, хіба що їх кінцевої кількості». Це вже ближче до істини, але все одно не зовсім точно. Так, наприклад, у послідовності половина членів зовсім не наближається до нуля – вони йому просто рівні =) До речі, «мигалка» взагалі набуває двох фіксованих значень.
Формулювання неважко уточнити, але тоді виникає інше питання: як записати визначення у математичних знаках? Науковий світ довго бився над цією проблемою, поки ситуацію не вирішив відомий маестро, який, по суті, і оформив класичний матаналіз у всій його строгості. Коші запропонував оперувати околицями, чим значно просунув теорію.
Розглянемо деяку точку та її довільну околицю:
Значення «епсілон» завжди позитивне, і, більше того, ми маємо право вибрати його самостійно. Припустимо, що в околиці знаходиться безліч членів (не обов'язково всі) деякої послідовності . Як записати той факт, що, наприклад, десятий член потрапив в околицю? Нехай він знаходиться у правій її частині. Тоді відстань між точками і повинна бути меншою за «епсілон»: . Однак якщо «ікс десяте» розташоване лівіше від точки «а», то різниця буде негативною, і тому до неї потрібно додати знак модуля: .
Визначення: число називається межею послідовності, якщо для будь-якої його околиці (заздалегідь обраної) існує натуральний номер - ТАКИЙ, що всі члени послідовності з більшими номерами виявляться всередині околиці:
Або коротше: якщо
Іншими словами, яке б мале значення «епсілон» ми не взяли, рано чи пізно «нескінченний хвіст» послідовності ПОВНІСТТЮ опиниться в цій околиці.
Так, наприклад, «нескінченний хвіст» послідовності ПОВНІСТТЮ зайде в будь-яку скільки завгодно малу -околиця точки Таким чином, це значення є межею послідовності за визначенням. Нагадую, що послідовність, межа якої дорівнює нулю, називають нескінченно малою.
Слід зазначити, що для послідовності вже не можна сказати "нескінченний хвіст зайде" - члени з непарними номерами за фактом дорівнюють нулю і "нікуди не заходять" =) Саме тому у визначенні використано дієслово "виявляться". І, зрозуміло, члени такої послідовності, як також «нікуди не йдуть». До речі, перевірте, чи буде її числом межею.
Тепер покажемо, що послідовність не має межі. Розглянемо, наприклад, околицю точки. Цілком зрозуміло, що немає такого номера, після якого всі члени опиняться в даній околиці – непарні члени завжди «вискакуватимуть» до «мінус одиниці». З аналогічної причини немає межі й у точці.
Довести, що межа послідовності дорівнює нулю. Вказати номер, після якого, всі члени послідовності гарантовано виявляться всередині будь-якої скільки завгодно малої околиці точки.
Примітка: у багатьох послідовностей натуральний номер залежить від значення – звідси і позначення .
Рішення: розглянемо довільну околицю точки і перевіримо, чи знайдеться номер – такий, що ВСІ члени з більшими номерами опиняться всередині цієї околиці:
Щоб показати існування шуканого номера, виразимо через.
Так як за будь-якого значення «ен» , то знак модуля можна прибрати:
Використовуємо «шкільні» дії з нерівностями, які я повторював на уроках Лінійні нерівності та Область визначення функції. При цьому важливою обставиною є те, що «епсілон» та «ен» позитивні:
Оскільки зліва йдеться про натуральні номери, а права частина в загальному випадку дробова, то її потрібно округлити:
Примітка: іноді для перестрахування праворуч додають одиницю, але насправді це надмірність. Умовно кажучи, якщо і ми послабимо результат округленням у менший бік, то найближчий відповідний номер («трійка») все одно задовольнятиме початкову нерівність.
А тепер дивимося на нерівність і згадуємо, що ми розглядали довільну -околиця, тобто. «епсілон» може дорівнювати будь-якому позитивному числу.
Висновок Для будь-якої скільки завгодно малої околиці точки знайшлося значення, таке, що для всіх великих номерів виконано нерівність. Таким чином, число є межею послідовності визначення. Що й потрібно було довести.
До речі, з отриманого результату добре проглядається природна закономірність: що менше -околиця – то більше вписувалося номер , після якого ВСІ члени послідовності опиняться у цій околиці. Але яким би малим не було «епсілон» – усередині завжди буде «нескінченний хвіст», а зовні – хай навіть велика, проте кінцева кількість членів.
